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三角比の拡張と単位円の活用

これまで直角三角形でしか扱えなかった三角比を、座標平面を使って180°まで拡張する方法を学ぶよ。この拡張により、鈍角を含む三角形の問題も解けるようになり、正弦定理や余弦定理への重要な土台となる。

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# 三角比の拡張 ## 三角比の拡張の概要 今まで三角比は直角三角形で考えてきたから、角度は$0<\theta<90$の範囲だった でも、これだと鈍角 (90°より大きい角)を扱う図形問題に対応できないそこ で、座標平面を使って三角比を0から180 まで拡張して考える必要があ

三角比の拡張の基本概念

君たちがこれまで習った三角比は直角三角形の中だけの話だったから、90°を超える角には対応できなかった。でも、実際の図形問題では鈍角も頻繁に登場するよね。

座標平面上で、原点Oを中心とする半径rの円を考えて、円周上の点P(x,y)を使って三角比を定義し直そう。動径OPとx軸の正の部分がなす角をθとすると、sin θ = y/r、cos θ = x/r、tan θ = y/x（x≠0）となる。

特に単位円（半径1の円）で考えると計算が格段に楽になる。単位円では r = 1 なので、sin θ = y、cos θ = x となり、点の座標がそのまま三角比の値になるんだ。

💡 コツ: 単位円上の点の座標は(cos θ, sin θ)と覚えよう！

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# 三角比の拡張 ## 三角比の拡張の概要 今まで三角比は直角三角形で考えてきたから、角度は$0<\theta<90$の範囲だった でも、これだと鈍角 (90°より大きい角)を扱う図形問題に対応できないそこ で、座標平面を使って三角比を0から180 まで拡張して考える必要があ

各象限での符号の決まり方

単位円を使うと、0°から180°までの三角比の符号が一目で分かるようになる。点P(x,y)の座標が(cos θ, sin θ)だから、どの象限にいるかで符号が決まるんだ。

第1象限（0° < θ < 90°）では x > 0, y > 0 なので、sin θ, cos θ, tan θ すべて正の値。第2象限（90° < θ < 180°）では x < 0, y > 0 なので、sin θ は正、cos θ と tan θ は負の値になる。

特別な角も押さえておこう。θ = 0°のとき P(1,0) なので sin 0° = 0, cos 0° = 1。θ = 90°のとき P(0,1) なので sin 90° = 1, cos 90° = 0（tan 90°は定義されない）。θ = 180°のとき P(-1,0) なので sin 180° = 0, cos 180° = -1。

💡 暗記のコツ: 「第2象限ではcosとtanが負」と覚えよう！

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# 三角比の拡張 ## 三角比の拡張の概要 今まで三角比は直角三角形で考えてきたから、角度は$0<\theta<90$の範囲だった でも、これだと鈍角 (90°より大きい角)を扱う図形問題に対応できないそこ で、座標平面を使って三角比を0から180 まで拡張して考える必要があ

三角比の相互関係

鋭角で成り立っていた相互関係の公式は、鈍角でも全く同じように使える。これは単位円の定義から自然に導かれるから、安心して使って大丈夫だ。

最重要公式は sin²θ + cos²θ = 1。これは単位円の方程式 x² + y² = 1 そのものだね。次に tan θ = sin θ / cos θ。これも定義から直接分かる。

1 + tan²θ = 1/cos²θ も覚えておこう。これは1番目の公式の両辺をcos²θで割ると導ける。この公式は方程式を解くときによく使うから、しっかり頭に入れておいて。

💡 応用のコツ: 一つの三角比が分かれば、相互関係を使って他の二つも求められる！

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# 三角比の拡張 ## 三角比の拡張の概要 今まで三角比は直角三角形で考えてきたから、角度は$0<\theta<90$の範囲だった でも、これだと鈍角 (90°より大きい角)を扱う図形問題に対応できないそこ で、座標平面を使って三角比を0から180 まで拡張して考える必要があ

180° - θの公式

鈍角の三角比を鋭角に変換する超重要な公式がこれ。単位円上で角θの動径OPと、角(180° - θ)の動径OP'を考えると、この2点はy軸に関して対称になる。

P(x, y)に対してP'−x,y-x, yとなるから、以下の関係が成り立つ：sin(180° - θ) = sin θ、cos(180° - θ) = -cos θ、tan(180° - θ) = -tan θ。

この公式を使えば、例えば120° = 180° - 60°と考えて、sin 120° = sin 60° = √3/2、cos 120° = -cos 60° = -1/2、tan 120° = -tan 60° = -√3 とすぐに計算できる。

💡 計算のコツ: 鈍角は必ず「180° - 鋭角」の形で表現してから計算しよう！

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# 三角比の拡張 ## 三角比の拡張の概要 今まで三角比は直角三角形で考えてきたから、角度は$0<\theta<90$の範囲だった でも、これだと鈍角 (90°より大きい角)を扱う図形問題に対応できないそこ で、座標平面を使って三角比を0から180 まで拡張して考える必要があ

実践的な計算例

sinθ = 3/5 で 0° ≤ θ ≤ 180°のとき、cosθとtanθを求める問題を解いてみよう。まず相互関係の公式 sin²θ + cos²θ = 1 を使う。

cos²θ = 1 - (3/5)² = 16/25 なので、cosθ = ±4/5。でもここで重要なのが場合分けだ。sinθ = 3/5 > 0 だから点Pはy > 0の位置、つまり第1象限か第2象限にある。

第1象限（鋭角）なら cosθ = 4/5、tanθ = 3/4。第2象限（鈍角）なら cosθ = -4/5、tanθ = -3/4。このように、三角比の符号から象限を特定して、正しい値を選ぶのがポイント。

💡 注意: cos²θから cosθを求めるときは、必ず±両方を考えて象限で判断！

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# 三角比の拡張 ## 三角比の拡張の概要 今まで三角比は直角三角形で考えてきたから、角度は$0<\theta<90$の範囲だった でも、これだと鈍角 (90°より大きい角)を扱う図形問題に対応できないそこ で、座標平面を使って三角比を0から180 まで拡張して考える必要があ

重要ポイントと試験対策

符号のミスは最も多い間違いパターン。90° < θ < 180°の範囲では、cosθとtanθが負の値になることを絶対に忘れないで。単位円のx座標、y座標と結びつけて理解すれば間違えない。

tan 90°は定義されないことも頻出。θ = 90°のとき点P(0,1)なので、tan θ = y/x の分母が0になってしまう。グラフを思い浮かべれば、θ = 90°が漸近線になっているのが分かるよね。

試験前には必ずチェック：120°、135°、150°の三角比をすぐに言えるか？180° - θの公式を正しく使えるか？相互関係から他の三角比を導出できるか？これらができれば完璧だ。

💡 最終確認: 鈍角でも自信を持って計算できるようになったら、正弦定理・余弦定理も怖くない！

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君たちがこれまで習った三角比は直角三角形の中だけの話だったから、90°を超える角には対応できなかった。でも、実際の図形問題では鈍角も頻繁に登場するよね。

座標平面上で、原点Oを中心とする半径rの円を考えて、円周上の点P(x,y)を使って三角比を定義し直そう。動径OPとx軸の正の部分がなす角をθとすると、sin θ = y/r、cos θ = x/r、tan θ = y/x（x≠0）となる。

特に単位円（半径1の円）で考えると計算が格段に楽になる。単位円では r = 1 なので、sin θ = y、cos θ = x となり、点の座標がそのまま三角比の値になるんだ。

💡 コツ: 単位円上の点の座標は(cos θ, sin θ)と覚えよう！

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各象限での符号の決まり方

単位円を使うと、0°から180°までの三角比の符号が一目で分かるようになる。点P(x,y)の座標が(cos θ, sin θ)だから、どの象限にいるかで符号が決まるんだ。

第1象限（0° < θ < 90°）では x > 0, y > 0 なので、sin θ, cos θ, tan θ すべて正の値。第2象限（90° < θ < 180°）では x < 0, y > 0 なので、sin θ は正、cos θ と tan θ は負の値になる。

特別な角も押さえておこう。θ = 0°のとき P(1,0) なので sin 0° = 0, cos 0° = 1。θ = 90°のとき P(0,1) なので sin 90° = 1, cos 90° = 0（tan 90°は定義されない）。θ = 180°のとき P(-1,0) なので sin 180° = 0, cos 180° = -1。

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三角比の相互関係

鋭角で成り立っていた相互関係の公式は、鈍角でも全く同じように使える。これは単位円の定義から自然に導かれるから、安心して使って大丈夫だ。

最重要公式は sin²θ + cos²θ = 1。これは単位円の方程式 x² + y² = 1 そのものだね。次に tan θ = sin θ / cos θ。これも定義から直接分かる。

1 + tan²θ = 1/cos²θ も覚えておこう。これは1番目の公式の両辺をcos²θで割ると導ける。この公式は方程式を解くときによく使うから、しっかり頭に入れておいて。

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180° - θの公式

鈍角の三角比を鋭角に変換する超重要な公式がこれ。単位円上で角θの動径OPと、角(180° - θ)の動径OP'を考えると、この2点はy軸に関して対称になる。

P(x, y)に対してP'−x,y-x, yとなるから、以下の関係が成り立つ：sin(180° - θ) = sin θ、cos(180° - θ) = -cos θ、tan(180° - θ) = -tan θ。

この公式を使えば、例えば120° = 180° - 60°と考えて、sin 120° = sin 60° = √3/2、cos 120° = -cos 60° = -1/2、tan 120° = -tan 60° = -√3 とすぐに計算できる。

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実践的な計算例

sinθ = 3/5 で 0° ≤ θ ≤ 180°のとき、cosθとtanθを求める問題を解いてみよう。まず相互関係の公式 sin²θ + cos²θ = 1 を使う。

cos²θ = 1 - (3/5)² = 16/25 なので、cosθ = ±4/5。でもここで重要なのが場合分けだ。sinθ = 3/5 > 0 だから点Pはy > 0の位置、つまり第1象限か第2象限にある。

第1象限（鋭角）なら cosθ = 4/5、tanθ = 3/4。第2象限（鈍角）なら cosθ = -4/5、tanθ = -3/4。このように、三角比の符号から象限を特定して、正しい値を選ぶのがポイント。

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tan 90°は定義されないことも頻出。θ = 90°のとき点P(0,1)なので、tan θ = y/x の分母が0になってしまう。グラフを思い浮かべれば、θ = 90°が漸近線になっているのが分かるよね。

試験前には必ずチェック：120°、135°、150°の三角比をすぐに言えるか？180° - θの公式を正しく使えるか？相互関係から他の三角比を導出できるか？これらができれば完璧だ。

💡 最終確認: 鈍角でも自信を持って計算できるようになったら、正弦定理・余弦定理も怖くない！

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